Astronomie

Was ist falsch an meinen Berechnungen der Umlaufperiode der Venus?

Was ist falsch an meinen Berechnungen der Umlaufperiode der Venus?


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Ich versuche, das zweite Keplersche Gesetz zu verwenden, um die Dauer der Umlaufbahn der Venus zu bestimmen. Ich gehe von kreisförmigen Bahnen aus (unter Verwendung von Erde und Venus, daher geringe Exzentrizität). Hier ist mein Prozess:

Angenommen, der Radius der Erdumlaufbahn beträgt 150 Millionen km, dann ist die überstrichene Fläche an einem Tag $frac{1}{365,25} imespi imes 150^2 ca. 194 ext{ Millionen km}^2$.

Venus muss dieselbe Fläche zur gleichen Zeit überstreichen. Unter der Annahme eines Orbitalradius von 108 Millionen km für die Venus und unter Verwendung von $A = frac{ heta}{360}pi r^2$, können wir den Zentralwinkel für den überstrichenen Sektor, d. h. den an einem Tag der Erde zurückgelegten Winkel, ermitteln:

$194 = frac{ heta}{360}pi imes108^2 implies heta = 1,90 ^{circ}$ pro Tag der Erde.

Daher sollte die Umlaufzeit $frac{360}{1,90}ca. 189$ Tage der Erde.

Natürlich ist die Umlaufzeit der Venus $224.7$ Tage der Erde. Der Unterschied zwischen 189 und 224,7 scheint weit über den Fehler hinaus zu liegen, der durch meine Annahme kreisförmiger Bahnen eingeführt wurde.

Was mache ich falsch?

Ich weiß, dass dies vielleicht ein umständlicher Weg ist, diese Berechnung durchzuführen. Mein Ziel ist es, eine mathematische Übung zu schreiben, die den Bereich der Sektoren sinnvoll nutzt.


Die Keplerschen Gesetze besagen, dass ein Planet auf seiner elliptischen Umlaufbahn in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht. Es besagt nicht, dass verschiedene Planeten dasselbe Gebiet überstreichen.

Aus der "Drehimpulserhaltung" lässt sich das Gesetz der "Flächengleichheit" ableiten. Tatsächlich ist dA/dt = L/(2m) (wobei A die Fläche, L der Drehimpuls und m die (reduzierte) Masse ist).

Verschiedene Planeten werden verschiedene Gebiete ausfegen. Um die Periode zu berechnen, haben Sie das dritte Keplersche Gesetz verwendet: $T^2 = k a^3$ (T = Umlaufperiode, a = Haupthalbachse). Wenn Sie der Einfachheit halber a in AU und T in Erdjahren nehmen, dann ist die Konstante $k=1$.

Für Venus ist a = 0,72. so $T=sqrt{0,72^3}=0,61$ oder ungefähr 223 Tage.

Hyperphysik hat einen Abschnitt über die Keplerschen Gesetze


Was ist falsch an meinen Berechnungen der Umlaufperiode der Venus? - Astronomie

BERECHNUNG DER SYNODISCHEN PERIODEN DES SOLARSYSTEMS.

SIDEREAL UND SYNODISCHE PERIODEN.

Die Umlaufzeit der Venus beträgt 224.70067 Sonnentage auf der Erde. Lassen Sie uns klären, was wir mit dieser obigen Aussage meinen. Die Umlaufperiode der Venus, dh: - Die wahre Umlaufperiode der Venus, auch als Sternumlaufperiode der Venus bekannt, ist die genaue Zeitdauer, die Venus benötigt, um eine vollständige 360-Grad-Umdrehung um die Sonne durchzuführen. Mit anderen Worten, wenn Sie die Venus von einem der Fixsterne aus betrachteten und Ihre Stoppuhr starteten, als Venus den Zentralmeridian der Sonne durchquerte, und Ihre Stoppuhr abklickten, als Venus WIEDER durch den Zentralmeridian der Sonne ging, würde Ihre Stoppuhr genau und genau 224.70067 Erdsonnentage. Im Begriff „siderische Revolutionsperiode“ bedeutet das Wort „sidereal“ – bezogen auf die Fixsterne.

Venus' siderisch Umdrehungsperiode (wie wir gesehen haben) beträgt 224.70067 Erdsonnentage. Venus jedoch synodisch Die Umdrehungsperiode (manchmal auch als die synodische Periode der Venus bezeichnet) beträgt 583.9205 Sonnentage auf der Erde.

Frage:- Warum unterscheiden sich diese beiden Werte?

Antwort:- Stellen Sie sich vor, dass wir (auf der Erde) beobachten, wie sich die Venus am Zentralmeridian der Sonne vorbeibewegt, und zu diesem Zeitpunkt starten wir die Stoppuhr. Dann warten wir, bis die Venus WIEDER den Zentralmeridian der Sonne passiert, und wenn dies der Fall ist, klicken wir die Stoppuhr ab. Wir werden feststellen, dass wir eine Zeitspanne von NICHT 224.70067 Erdsonnentagen gemessen haben, sondern stattdessen eine Zeitspanne von 583.9205 Erdsonnentagen gemessen haben, was der SYNODISCHEN Umdrehungsperiode der Venus entspricht. Der Grund, warum diese beiden Zeiträume unterschiedlich sind, ist folgender: - Die Erde dreht sich um die Sonne und Venus (in ihrer Umdrehung um die Sonne) muss die Erde „einholen“, bevor Venus es tun wird erscheinen den Mittelmeridian der Sonne zu überqueren. Lassen Sie mich das genauer erklären. Die Sternumlaufperiode der Venus beträgt 224.70067 Sonnentage auf der Erde. Nehmen wir an, wir starten unsere Stoppuhr, wenn die Venus den Zentralmeridian der Sonne passiert hat. Nach 224.70067 Sonnentagen auf der Erde könnten wir (fälschlicherweise) ungeduldig darauf warten, dass die Venus WIEDER den Zentralmeridian der Sonne überquert, damit wir unsere Stoppuhr ausschalten können. Während des Zeitraums von 224.70067 Erdsonnentagen hat sich die Erde jedoch bei ihrer Umdrehung um die Sonne um 221,467 Grad gedreht. In diesem Fall muss sich die Venus um weitere 221,467 Grad drehen, um die Erde „einzuholen“, was 138,233 Erden-Sonnentage benötigt, während dieser Zeit wird sich die Erde noch etwas weiter bewegt haben, was weiteres „Aufholen“ erfordert. Zeit für Venus. Es stellt sich heraus, dass es der Venus endlich gelingt, die Erde „einzuholen“ und den Zentralmeridian der Sonne WIEDER (aus der Perspektive eines Beobachters auf der Erde) nach 583.9205 Erd-Sonnentagen zu passieren.

Mit anderen Worten, Venus’ SIDEAL Umdrehungsperiode ist Venus WAHRE Umdrehungsperiode, von den Fixsternen aus gesehen – und Venus’ SYNODIC Die Umdrehungsperiode ist die scheinbare Umdrehungsperiode der Venus, die von einem Beobachter auf der Erde gemessen wird.

Ein kleiner Punkt, der hier erwähnt wird: - Die synodische Umdrehungsperiode der Venus beträgt im Durchschnitt 583,9205 Sonnentage auf der Erde – und dies ist ein absolut FESTER (durchschnittlicher) Wert, aber es gibt einige Abweichungen auf beiden Seiten dieses festen Durchschnittswertes. In einigen Fällen könnte die synodische Umdrehungsperiode der Venus als (zum Beispiel) 580,35 Erdsonnentage gemessen werden und in einigen Fällen könnte die synodische Umdrehungsperiode der Venus als (zum Beispiel) 587,49 Erdsonnentage gemessen werden. Der DURCHSCHNITTLICHE Wert für die synodische Umdrehungsperiode der Venus ist jedoch absolut auf 583.9205 Sonnentage auf der Erde festgelegt.

Die obigen Ausführungen gelten auch für Rotationsperioden (sowie für Umdrehungsperioden). Zum Beispiel beträgt die SIDEREAL-Rotationsperiode des Merkur (dh: seine WAHRE Rotationsperiode, von der Erde aus gesehen) 58,6462 Erdsonnentage. Allerdings beträgt die SYNODISCHE Rotationsperiode von Merkur (dh: - die scheinbare Rotationsperiode von Merkur, wie von einem Beobachter auf der Erde gemessen) 69,8636 Sonnentage auf der Erde. Der Grund dafür ist (wiederum), dass sich die Erde während der Rotation von Merkur um die Sonne dreht und Merkur zusätzliche Zeit aufwenden muss, um die Erde „einzuholen“.

Frage:- Wenn wir die siderische Umdrehungsperiode oder die siderische Rotationsperiode eines Planeten oder Satelliten kennen, wie können wir dann seine synodische Umdrehungsperiode oder seine synodische Rotationsperiode berechnen?

Antwort:- Sie können dies tun, indem Sie eine Reihe von Umrechnungsformeln verwenden, die ich jetzt näher erläutern werde – mit Zitaten aus verschiedenen Astronomie-Lehrbüchern.

Ich zitiere unten aus Essentials of Astronomy von Lloyd Motz und Anneta Duveen, Columbia University Press, 2. Auflage, 1977, Seiten 132 und 133.

Wenn E die siderische Umdrehungsperiode der Erde ist und P die siderische Umdrehungsperiode des Planeten ist und S die synodische Umdrehungsperiode des Planeten ist, dann:

Für einen minderwertigen Planeten (dh:- ein Planet, der näher an der Sonne liegt als die Erde)

Für die höheren Planeten ist die Beziehung

Nun zitiere ich aus dem Collins (Internet Linked) Dictionary of Astronomy, veröffentlicht von Collins, 2006, (Paperback), unter dem Eintrag „synodische Periode“.

In diesem Buch wird eine zusätzliche Umrechnungsformel für die synodische Revolutionsperiode eines SATELLITEN angegeben.

Die Umrechnungsformel lautet:-

Die obige Umrechnungsformel gilt sowohl für die Umdrehungsperiode eines Satelliten als auch für seine Rotationsperiode, wobei jeweils dieselbe Formel verwendet wird.

SYNODISCHE ROTATIONSPERIODEN.

Wenn Sie die siderische Rotationsperiode eines Planeten kennen, können Sie die synodische Rotationsperiode dieses Planeten berechnen. Sie können dies tun, indem Sie sich einen Satelliten vorstellen, der sich um den Planeten dreht, der dieselbe Sternumdrehungsperiode wie die Sternumdrehungsperiode des Planeten hat. In diesem Fall verwenden Sie die Satellitenumrechnungsformel wie oben beschrieben, dh:

wo Pso = die synodische Rotationsperiode des Planeten,

und wo P1 = die siderische Rotationsperiode des Planeten,

und wo P2 = die siderische Umlaufperiode des Planeten.

Das ist richtig für a überlegen Planeten (dh:- für einen Planeten, der weiter von der Sonne entfernt ist als die Erde). Diese Umrechnungsformel ist jedoch NICHT korrekt, wenn die synodische Rotationsperiode von an . berechnet wird minderwertig Planet (dh: - ein Planet, der näher an der Sonne ist als die Erde).

DIE SYNODISCHE ROTATIONSPERIODE EINES UNTERLEGENDEN PLANETEN.

Die folgende Umrechnungsformel ist in keinem Astronomie-Lehrbuch zu finden. Es gibt zwei untergeordnete Planeten: Merkur und Venus. Die Umrechnungsformeln sind für jeden Planeten unterschiedlich.

Zunächst beschäftigen wir uns mit der Umrechnungsformel für Merkur.

(1÷ Quecksilber-Synodische Rotationsperiode) = (1 ÷ Merkur-Sternumlaufperiode) – (1 ÷ Erd-Sternumlaufperiode)

Die siderische Rotationsperiode des Merkur = 58,6462 Sonnentage auf der Erde.

Sternumdrehungsperiode der Erde = 365,25636050 Sonnentage der Erde.

(1 ÷ Merkur synodische Rotationsperiode) = (1 ÷ 58,6462) – (1 ÷ 365,25636050)

was bedeutet, dass die synodische Rotationsperiode des Merkur = 69,8636 Sonnentage auf der Erde

Sie können die Richtigkeit auf folgende Weise überprüfen:

Während des Zeitraums von 69,8636 Erdsonnentagen dreht sich Merkur in Bezug auf die Fixsterne um einen Winkel von (69,8636 ÷ 58,6462) x 360 = 428,86 Grad, was einer vollen 360 Grad Drehung + 68,86 Grad entspricht. Während des Zeitraums von 69,8636 Erdsonnentagen dreht sich die Erde um 68,86 Grad um die Fixsterne.

Zur weiteren Überprüfung: - 7 synodische Rotationsperioden des Merkur = 69,8636 x 7 = 489.0452 Sonnentage der Erde. Während des Zeitraums von 489.0452 Sonnentagen auf der Erde dreht sich Merkur in Bezug auf die Fixsterne um 8 vollständige Umdrehungen + 122,01 Grad. Während des Zeitraums von 489.0452 Erdsonnentagen dreht sich die Erde um 1 vollständige Umdrehung + 122,01 Grad.

Sie können dieselbe Berechnung mit einer beliebigen Anzahl synodischer Rotationsperioden des Merkur mit ähnlichen Ergebnissen durchführen.

Nun beschäftigen wir uns mit der synodischen Rotationsperiode der Venus.

Die folgende Umrechnungsformel ist in keinem Astronomie-Lehrbuch zu finden.

Wenn Sie die siderische Rotationsperiode der Venus kennen, können Sie die synodische Rotationsperiode der Venus mit der folgenden Umrechnungsformel berechnen:

(1 ÷ die synodische Rotationsperiode der Venus) = (1 side die siderische Rotationsperiode der Venus) + (1 ÷ die siderische Rotationsperiode der Erde)

Frage:- Warum unterscheidet sich diese Umrechnungsformel von der Umrechnungsformel für Merkur?

Antwort:- Weil Venus eine retrograde Rotation hat (dh:- Rotation in die „falsche“ Richtung), während Merkur eine prograde Rotation hat (dh:- Rotation in die „richtige“ oder „richtige“ Richtung).

Venus-Sternrotationsperiode = 243.0187 Sonnentage der Erde.

Sternumdrehungsperiode der Erde = 365,25636050 Sonnentage der Erde.

(1 ÷ Venus’ synodische Rotationsperiode) = (1 ÷ 243.0187) + (1 ÷ 365.25636050)

was bedeutet, dass die synodische Rotationsperiode der Venus = 145.9276 Sonnentage auf der Erde ist.

Sie können dies auf folgende Weise überprüfen: - Während des Zeitraums von 145.9276 Sonnentagen auf der Erde dreht sich die Venus in Bezug auf die Fixsterne (145.9276 ÷ 243.0187) x 360 = 216.172 Grad, aber da die Venus „rückwärts“ dreht ( dh:- rückläufig), Venus'“nach vorneWinkelbewegung“ beträgt (360 minus 216,172) Grad, also 143,828 Grad.

Während des Zeitraums von 145.9276 Erdsonnentagen dreht sich die Erde (um die Sonne) in Bezug auf die Fixsterne (145.9276 ÷ 365.25636050) x 360 = 143.828 Grad.

Ähnlich sind 7 synodische Rotationsperioden der Venus = 145,9276 x 7 = 1021,4932 Sonnentage der Erde.

Während dieser Zeit dreht sich die Venus relativ zu den Fixsternen (1021,4932 ÷ 243,0187) x 360 = 1513,2068 Grad, das sind 4 vollständige Umdrehungen + 73,207 Grad. Da sich die Venus jedoch „rückwärts“ dreht, beträgt die „Winkelbewegung nach vorne“ der Venus (360 minus 73,207) = 286,793 Grad.

Während des Zeitraums von 1021,4932 Erdsonnentagen dreht sich die Erde in Bezug auf die Fixsterne (1021,4932 ÷ 365,25636050) x 360 = 1006,793 Grad, das sind 2 vollständige Umdrehungen + 286,793 Grad.

Sie können diese Berechnung mit einer beliebigen Anzahl von synodischen Rotationen der Venus mit ähnlichen Ergebnissen durchführen.

SYNODISCHE PERIODEN AUS ANDEREN PLANETEN.

Die nächste Frage lautet: Angenommen, der Beobachter befindet sich auf einem anderen Planeten als der Erde. Wie sind die synodischen Perioden zu berechnen?

Um die richtigen Methoden herauszufinden, lesen Sie Folgendes:

WIE MAN SYNODISCHE PERIODENBERECHNUNGEN DURCHFÜHRT.

Hier ist eine kurze Anleitung zur Berechnung planetarischer synodischer Perioden, wie sie von verschiedenen Planeten aus betrachtet werden.

(Alle Perioden ausgedrückt in Sonnentagen der Erde).

Eine SYNODISCHE PERIODE ist die scheinbare Periode (entweder Umdrehungsperiode oder Rotationsperiode) eines Planeten (oder eines Satelliten), die von einem Beobachter gemessen wird, der sich auf einem bestimmten Planeten befindet, ohne die Bewegung in seiner Umlaufbahn des Planeten zu berücksichtigen, der der Beobachter ist auf gelegen. Zum Beispiel beträgt die synodische Umlaufperiode des Merkur 144,566 Sonnentage auf der Erde, gemessen von einem Beobachter auf der Venus, aber 115,8774, wie von einem Beobachter auf der Erde gemessen.

Um die synodische Umdrehungsperiode S . zu berechnenRev eines Planeten, dessen siderische Umlaufdauer P ist, wenn sich der Beobachter auf einem Planeten befindet, dessen siderische Umlaufdauer P istÖ:-

Wenn Ihr Ergebnis eine negative Zahl ist, ignorieren Sie einfach das Minuszeichen.

Beispiel: - Berechnen Sie die synodische Umdrehungsperiode von Merkur, wie sie von einem Beobachter auf dem Mars gemessen wurde. (Quecksilber-Sternumlaufperiode = 87,9692 und Mars-Sternumlaufperiode = 686.9782)

Merkur S = 1 ÷ [(1 ÷ 87,9692) – (1 ÷ 686.9782)] = 100,8882 Sonnentage auf der Erde.

Anleitung zu den Tastenanschlägen des Taschenrechners:

1 ÷ 87,9692 = – (1 ÷ 686.9782) = 1 ÷ Ans =

Die Berechnung der synodischen ROTATION-Perioden ist etwas kniffliger. Die Methode hängt davon ab, ob die Rotation prograd oder retrograd ist und ob der Planet minderwertig oder überlegen ist.

Um die synodische Rotationsperiode S . zu berechnenverrotten eines Planeten, dessen siderische Rotationsperiode P . istverrotten wenn die Sternumlaufperiode des Planeten, auf dem sich der Beobachter befindet, P . istÖ

Wenn der Planet, den Sie berechnen möchten, unterlegen ist (dh näher an der Sonne als) der Planet, auf dem sich der Beobachter befindet und den er hat prograd Drehung (dh:- Drehung in die „richtige“ oder „richtige“ Richtung), die Formel lautet wie folgt:-

Wenn der Planet, den Sie berechnen möchten, unterlegen ist (dh näher an der Sonne als) der Planet, auf dem sich der Beobachter befindet und den er hat rückläufig Drehung (dh:- Drehung in die „falsche“ Richtung), die Formel lautet wie folgt:-

Wenn der Planet, den Sie berechnen möchten, dem Planeten, auf dem sich der Beobachter befindet, überlegen ist (dh:- weiter von der Sonne entfernt) prograd Drehung (dh:- Drehung in die „richtige“ oder „richtige“ Richtung) und wenn der zu berechnende Planet die Sternumlaufperiode P . hatRev und siderische Rotationsperiode Pverrotten die formel lautet wie folgt:-

(In diesem Fall sind die Details des Planeten, auf dem sich der Beobachter befindet, irrelevant.)

Wenn das Ergebnis eine negative Zahl ist, ignorieren Sie einfach das Minuszeichen.

Wenn der Planet, den Sie berechnen möchten, dem Planeten, auf dem sich der Beobachter befindet, überlegen ist (dh:- weiter von der Sonne entfernt) rückläufig Drehung (dh:- Drehung in die „falsche“ Richtung), und wenn der zu berechnende Planet eine siderische Umlaufdauer P . hatRev und siderische Rotationsperiode Pverrotten die formel lautet wie folgt:-

(In diesem Fall sind die Details des Planeten, auf dem sich der Beobachter befindet, irrelevant.)

Beispiel 1. Berechnen Sie die synodische Rotationsperiode von Merkur von der Venus aus gesehen. (Quecksilber ist der Venus unterlegen. Merkur hat eine prograde Rotation. Merkur-Sternrotationsperiode = 58,6462 und Venus-Sternumlaufperiode = 224,70067)

Merkur Sverrotten = 1 ÷ [(1 ÷ 58,6462) – (1 ÷ 224,70067)] = 79,359 Sonnentage der Erde.

Anleitung zu den Tastenanschlägen des Taschenrechners:

1÷ 58,6462 = – (1 ÷ 224,70067) = 1÷ Ans =

Beispiel 2. Berechnen Sie die synodische Rotationsperiode der Venus vom Mars aus gesehen. (Venus hat retrograde Rotation. Venus ist dem Mars unterlegen. Venus’ siderische Rotationsperiode = 243.0187 und Mars’ siderische Rotationsperiode = 686.9782)

Venus Sverrotten = 1 ÷ [(1 ÷ 243.0187) + (1 ÷ 686.9782)] = 179.515 Sonnentage der Erde.

Anleitung zu den Tastenanschlägen des Taschenrechners:

1 ÷ 243.0187 = + (1 ÷ 686 9782) = 1 ÷ Ans =

Beispiel 3. Berechnen Sie die synodische Rotationsperiode von Merkur von der Sonne aus gesehen. (Quecksilber ist der Sonne überlegen. Merkur hat eine prograde Rotation. Merkur-Sternrotationsperiode = 58,6462 und Merkur-Sternumlaufperiode = 87,9692)

Merkur Sverrotten = 1 ÷ [(1 ÷ 87,9692) – (1 ÷ 58,6462)] = – 175.939 Erd-Sonnentage (dh:- das Minuszeichen ignoriert, das Ergebnis sind 175.939 Erd-Sonnentage.)

Anleitung zu den Tastenanschlägen des Taschenrechners:

1 ÷ 87,9692 = – (1 ÷ 58,6462) = 1 ÷ Ans =

Beispiel 4. Berechnen Sie die synodische Rotationsperiode der Venus vom Merkur aus gesehen. (Venus ist Merkur überlegen. Venus hat retrograde Rotation. Venus-Sternrotationsperiode = 243.0187 und Venus-Sternumdrehungsperiode = 224.70067).

Venus Sverrotten = 1 ÷ [(1 ÷ 243.0187) + (1 ÷ 224.70067)] = 116.7505 Erdsonnentage

Anleitung zu den Tastenanschlägen des Taschenrechners:

1 ÷ 243.0187 = + (1 ÷ 224.70067) = 1 ÷ Ans =

PLANETARISCHE SYNODISCHE PERIODEN VON VERSCHIEDENEN PLANETEN AUS BETRACHTET.

(Perioden ausgedrückt in Sonnentagen der Erde) (Syn Rev bedeutet synodische Umdrehungsperiode und Syn Rot bedeutet synodische Rotationsperiode).


Was ist falsch an meinen Berechnungen der Umlaufperiode der Venus? - Astronomie

"Bei ihnen ist es, als würde ein Künstler die Hände, Füße, den Kopf und andere Glieder für seine Bilder aus verschiedenen Modellen zusammentragen, jedes Teil hervorragend gezeichnet, aber nicht auf einen einzigen Körper bezogen, und da sie in keiner Weise zueinander passen, das Ergebnis wäre eher ein Monster als ein Mann."

Diese Seite beschäftigt sich mit astronomischen Berechnungen. Sie können herausfinden, wie Sie eine sehr grobe Position (angegeben als Rektaszension und Deklination) für den Planeten Venus und für den Planeten Jupiter an einem bestimmten Tag berechnen können. Die Methode erstreckt sich auf jeden der anderen Planeten und ist am Himmel bis auf wenige Grad genau - genug für ein Fernglas! Als Beispiel für die Methode zeige ich Berechnungen für die Position von Jupiter und Venus um 0 UT am 20./21. April 1997.

Die hier gezeigte Methode basiert auf Abschnitt 55 von Peter Duffett-Smiths Buch Practical Astronomy with your Calculator (3. Auflage, 1990). Sie können Ihre berechnete Position auf einer Sternkarte darstellen - oder in ALT- und AZ-Koordinaten umrechnen und die Planeten mit einem Magnetkompass finden.

Wenn Sie genaue Positionen für die Planeten bis 2006 wünschen, würde ich vorschlagen, dass Sie sich die von Fred Espenak zur Verfügung gestellte NASA Twelve Year Planetary Ephemeris (TYPE) ansehen. Ich habe diese sehr nützliche Ressource verwendet, um die Genauigkeit der hier beschriebenen Methode zu überprüfen.

  • Umlaufbahnen sind kreisförmig
  • Alle Bahnen liegen in der Ebene der Ekliptik
  • Finden Sie die Position der Erde in ihrer Umlaufbahn (Schritt 1 unten) ,
  • Finden Sie die Position des Planeten in seiner Umlaufbahn (Schritt 2 unten) ,
  • Beziehen Sie die Position des Planeten zur Erde (Schritte 3 bis 5 unten) ,
  • Wandeln Sie die Position in RA und DEC um (Schritt 6 unten).

Um die Position des Planeten in seiner heutigen Umlaufbahn zu bestimmen, müssen wir nur seine Position zu einem bestimmten Zeitpunkt (als Epoche bezeichnet) kennen und wie schnell sich der Planet bewegt. Diese Art von Informationen ist für verschiedene Daten in der Astronomical Ephemeris und in Duffett-Smiths Buch aufgeführt. Ein Satz von 7 Zahlen definiert eine richtige elliptische Umlaufbahn - und diese werden die Elemente der Umlaufbahn genannt. Ich liste nur die Elemente auf, die für diese vereinfachte Berechnung im Abschnitt 'Elemente' unten benötigt werden.

Da wir davon ausgegangen sind, dass die Ebenen der Umlaufbahnen mit der Ebene der Ekliptik übereinstimmen, ergibt eine einfache Summe den heliozentrischen Längengrad des Planeten. Es wird angenommen, dass der heliozentrische Breitengrad des Planeten durchgehend Null ist. Wir müssen auch den heliozentrischen Längengrad der Erde finden, damit die Positionen im nächsten Schritt auf die Erde zurückgeführt werden können.

Nachdem wir die Position des Planeten und der Erde als Winkel gemessen von der Sonne gefunden haben, müssen wir diese Position auf die Erde beziehen. Dies erfordert einige Formeln aus der Trigonometrie. Am Ende haben wir die geozentrische ekliptische Länge des Planeten - wieder ist die geozentrische ekliptische Breite des Planeten aufgrund unserer Annahmen Null.

  • Zeichnen Sie die Positionen auf einer Sternenkarte ein
  • wandeln Sie RA und DEC in ALT und AZ um und verwenden Sie einen Kompass, um die Planeten zu finden (addieren Sie 6 Grad zu AZ für die magnetische Ablenkung).

Da die Ergebnisse dieser Berechnungen von geringer Genauigkeit sind, macht es wenig Sinn, die Lichtlaufzeit oder die planetarische Aberration zu korrigieren. Genauere Methoden und Korrekturen wie diese finden Sie im Buch von Duffett-Smith.

Wir brauchen nur die mittlere Länge in der Epoche (L) und die tägliche Bewegung (n) für den Planeten und für die Erde und die große Halbachse der Umlaufbahn (a) des Planeten - die wir als den Radius des Kreises betrachten Orbit. Die folgenden Werte stammen aus der astronomischen Ephemeride von 1996

Ich habe die Berechnungen mit den 900.0-Epoch-Elementen von Duffett-Smith in der aktuellen Ausgabe von Practical Astronomy mit Ihrem Rechner ausprobiert, und die Unterschiede waren im Vergleich zum Gesamtfehler sehr gering. Das Buch kann daher behaupten, in sich geschlossen zu sein, Sie müssen nicht in eine Bibliothek gehen, um neue Figuren zu bekommen.

Da wir davon ausgehen, dass alle Umlaufbahnen kreisförmig sind, umkreisen die Planeten sie mit gleichmäßiger Winkelgeschwindigkeit - wir sehen oft die "durchschnittliche tägliche Bewegung" in Grad pro Tag. Um den heliozentrischen Längengrad der Erde eine bestimmte Anzahl Tage später als die Epoche der Elemente zu finden, multiplizieren wir einfach die Anzahl der Tage mit der täglichen Bewegung und addieren den Längengrad, den sie in der Epoche der Elemente hatte. So wie eine (analoge) Uhr bei 12 auf Null geht, müssen wir ein Vielfaches von 360 Grad abziehen, um den Längengrad wieder in den Bereich von 0 bis 360 zu bringen.

Der heliozentrische Längengrad der Erde wird durch Am 20. April 1997 angegeben. Dieser Wert wird verwendet, um die Positionen von Venus und Jupiter zurück zur Erde zu beziehen.

Um den geozentrischen Längengrad der Venus zu ermitteln, ermitteln wir den heliozentrischen Längengrad des Planeten (Schritt 2) und ändern dann unseren Koordinatenursprung auf die Erde (Schritte 3 bis 5). Die Formel für den Bezug auf die Position der Erde ist für innere und äußere Planeten unterschiedlich.

Position der Venus in ihrer Umlaufbahn

Bezug auf die Position der Erde

Sie können zum Abschnitt über die Transformation in RA und DEC springen, um die äquatorialen Koordinaten für die Venus zu erhalten, oder den geozentrischen Längengrad für Jupiter berechnen.

Um den geozentrischen Längengrad von Jupiter zu finden, ermitteln wir den heliozentrischen Längengrad des Planeten (Schritt 2) und ändern dann unseren Koordinatenursprung auf die Erde (Schritte 3 bis 5). Die Formel für den Bezug auf die Position der Erde ist für innere und äußere Planeten unterschiedlich.

Position des Jupiter in seiner Umlaufbahn

Bezug auf die Position der Erde

Für den 20. April 1997 haben wir In der (ungeheuerlichen) Näherung, die wir verwenden, ist die geozentrische Breite des Planeten Null - weil wir annehmen, dass die Umlaufbahn des Jupiter in der Ebene der Ekliptik liegt.

In den vorherigen Abschnitten haben wir den geozentrischen Längengrad (glp) und den geografischen Breitengrad der Planeten Venus und Jupiter gefunden. In der (radikalen) Näherung, die wir verwenden, ist der geozentrische Breitengrad für beide Planeten null - da angenommen wird, dass die Umlaufbahnen in der Ebene der Ekliptik liegen. Wir wollen nun die äquatorialen Koordinaten der Planeten ermitteln - die Rektaszension (RA) und Deklination (DEC). Wir verwenden die folgenden Formeln und verwenden den Wert 23,43928 Grad für die Neigung des Äquators zur Ekliptik (E).

Ergebnisse für Venus

Einsetzen dieser Werte in die obigen Formeln ergibt TYP ergibt RA = 2,16 Stunden und DEC = 12,21 Grad für Venus an diesem Tag.

Ergebnisse für Jupiter

Einsetzen dieser Werte in die obigen Formeln ergibt

TYPE gibt an diesem Tag RA = 21,38 Stunden und DEC = - 15,94 Grad für Jupiter an.

Die hier beschriebene sehr grobe Methode liefert Ihnen Positionen für die Venus innerhalb von 0,1 Stunden von RA und etwa 3 Grad von DEC. Für Jupiter ist die RA nur für 0,4 Stunden (fast 6 Grad am Himmel) und etwa 3 Grad in DEC gut. Diese Genauigkeit reicht aus, um den Planeten in die richtige Konstellation zu bringen – und in den meisten Fällen innerhalb des korrekten Fernglasfeldes (7,3 Grad).

Ich schrieb 1997 ein einfaches BASIC-Programm, um die geschätzte Methode für jeden zweiten Tag zu wiederholen - und ich verglich meine Ergebnisse mit Daten, die von der NASA Zwölf-Jahres-Planeten-Ephemeriden übertragen wurden, unter Verwendung einer Tabelle. Der Fehler in jeder Messung ist definiert als

Ich hatte erwartet, eine doppelte Periodizität des Fehlers zu sehen, eine für die Abweichung der Erde von der Kreisbewegung und eine andere für die Exzentrizität des Planeten. Die Grafiken für die Venus von 1997 bestätigten dieses allgemeine Bild.

  • Der maximale Fehler in RA beträgt -0,15 Stunden
  • Es gibt einen periodischen Term mit großer Amplitude mit einer Periode von 200 Tagen in der RA-Fehlerkurve
  • Dem größeren ist ein kleinerer Begriff überlagert.
  • Der DEC-Fehler erreicht nach 315 Tagen bis 1997 ein Maximum von -4 Grad degrees
  • Die Fehlerkurve für DEC scheint ebenfalls aus einem periodischen Term mit großer Amplitude von 200 Tagen zu bestehen, aber diesmal hat der zweite Term eine größere Amplitude, was die Form der Kurve verändert.
  • Der maximale Fehler in RA beträgt -0,35 Stunden
  • Die RA-Kurve weist einen großen negativen Fehler auf - wahrscheinlich Teil eines längerfristigen Zyklus im Zusammenhang mit der 12-Umlaufzeit von Jupiter
  • Dem größeren überlagert ein kleinerer Begriff, möglicherweise ein Teil des Erdzyklus.
  • Der DEC-Fehler erreicht nach 210 Tagen im Jahr 1997 ein Maximum von -3 Grad, aber die DEC-Kurve ist viel weniger "gewellt" als die DEC-Kurve für die Venus, wie man es von der längeren Umlaufzeit erwarten würde.
  • Ein längerer Teil von Jupiters 12-Jahres-Zyklus sollte untersucht werden (zurück zu Excel 8-)

Die Darstellung der Fehler über 4 Jahre (1997 bis einschließlich 2000) zeigt mehr vom Bild

  • Der maximale RA-Fehler beträgt zu Beginn des Zeitraums -0,4 Stunden und steigt am Ende der vier Jahre auf +0,4 Stunden an.
  • Wir können sehen, dass der RA-Fehler einen langen Periodenzyklus hat.
  • Dem größeren überlagert ein kleinerer Begriff, möglicherweise ein Teil des Erdzyklus.
  • Der DEC-Fehler erreicht nach 210 Tagen bis 1997 ein Maximum von -3 Grad.
  • Der DEC-Fehler steigt gegen Ende des 4-Jahres-Zeitraums durch Null an - hier liegt eine lange Laufzeit vor.

Ein einfacher periodischer Anpassungsterm kann für Jupiter über die gesamte 12-jährige TYPE-Periode funktionieren - aber dann können Sie auch ein Interpolationsschema mit den TYPE-Werten selbst ausprobieren.

Eine Kopie von Practical Astronomy with your Calculator von Peter Duffett-Smith enthält Details zu genaueren Bahnberechnungen, die auf einem programmierbaren Taschenrechner möglich sind. Sie wollen nicht immer einen PC hochfahren, um einen groben Azimut für einen Kometen zu berechnen - oder um zu sehen, wie weit die Sonne zu einem bestimmten Zeitpunkt unter dem Horizont steht. Hier ist die vollständige Referenz

Praktische Astronomie mit Ihrem Taschenrechner
von Peter Duffett-Smith
Cambridge University Press
ISBN 0-521-35699-7 (3. Ausgabe)
Kosten etwa 10 britische Pfund.

Eine kurze Rezension von Sam Wormley über Praktische Astronomie mit Ihrem Taschenrechner ist verfügbar.

Peter Duffett-Smith hat eine Homepage über seine Bücher, und sein Foto zeigt, dass er ganz anders ist, als ich es erwartet hatte - was nur das ein oder andere zeigt!


Harry Potter und die Umlaufbahn der Venus

In dem Buch „Harry Potter und der Orden des Phönix“ heißt es, dass im Rahmen seiner „Astronomy O.W.L.“ (eine Art Abschlussprüfung für Zauberer am Jahresende, die erforderlich ist, um einen akademischen Abschluss zu erhalten) beobachtete er den Planeten Venus. Im Buch steht, dass die Prüfung um 23 Uhr begann. Natürlich entfernt sich die Venus in der realen Welt nicht weit von der Sonne und ist daher außerhalb der Dämmerung nicht viel zu sehen, schon gar nicht so spät. Recht? Es ist ein Werk der Fiktion und wir sollten schließlich keine Korrespondenz mit der realen Welt erwarten! Es gab sogar einen Brief an den Herausgeber, der sich über diese unmögliche Szene beschwerte, die in Sky and Telescope veröffentlicht wurde und die ich gelesen habe. Aber was ist dann dieses helle Objekt tief im Westen spät in der Nacht in diesem Monat? Wie spät kann Venus untergehen?

Sie könnten denken, dass jedes erscheintDie Venus am Morgen- oder Abendhimmel ist einzigartig, und die Suche nach dem neuesten Venus-Set würde eine erschöpfende Computersuche erfordern. Du würdest falsch liegen. Im Laufe von Jahrzehnten eines Menschenlebens gibt es nur 5 Abenderscheinungen der Venus, und sie wiederholen sich alle 8 Jahre wie ein Uhrwerk. Dies ist eine Folge der Umlaufzeit der Venus von 224,70 Tagen und der Erde von 365,26 Tagen. Wie Sie mit einem Taschenrechner leicht überprüfen können, sind 8 Erdumläufe nur etwa einen Tag länger als 13 Venusumläufe. Alle 8 Erdenjahre umrundet die Venus die Erde also 5 Mal, und die Positionen der beiden Planeten wiederholen sich fast genau. Wenn Sie eine gute Astronomie-App auf Ihrem Telefon oder Tablet haben (ich benutze „Sky Safari“, aber es gibt mehrere zur Auswahl), versuchen Sie, die Position der Venus am 3. April um 21:00 Uhr zu ermitteln. Sie werden feststellen, dass er durch den auffälligen Sternhaufen mit bloßem Auge, den Plejaden, hindurchgeht. (Viele Mitglieder der Öffentlichkeit sind sich sicher, dass die Plejaden der kleine Löffel sind, aber das ist er nicht. Um Verwirrung zu vermeiden, schlage ich vor, ihn den "Mikrolöffel" zu nennen!) Dann versuchen Sie, die Zeit auf 8 Jahre in die Zukunft zu stellen --- da ist es ist wieder!

Wie Sie mit Ihrer Astronomie-App feststellen können, ist von den 5 Abenderscheinungen diejenige im Frühjahr 2004, 2012, 2020, … mit Abstand die höchste. Von Houston aus sind die letzten Venus-Untergänge im Jahr 2020 am 12. April um 23:25 Uhr. So ist es sogar von Houston aus möglich, die Venus um 23 Uhr zu sehen. Was ist mit Mitternacht? Kann Venus um Mitternacht von Texas aus gesehen werden? Venus geht so spät unter, weil sie recht weit nördlich am Himmel steht, so wie die Sonne spätestens zur Sommersonnenwende untergeht, wenn sie am nördlichsten ist. Wenn wir weiter nach Norden gehen, wird die Venus noch später untergehen, genauso wie die Junitage länger werden, je weiter man nach Norden kommt. Indem wir nach Westen gehen (aber in der zentralen Zeitzone bleiben) können wir es auch schaffen erscheinen später einstellen, zumindest nach Ihrer Uhr. Sie können überprüfen, dass Venus in der äußersten Nordwestecke von Texas (bei Texline, in der Nähe von Oklahoma und New Mexico) am 12. April nach Mitternacht untergeht. Die Venus kann also sogar von Texas aus nach Mitternacht untergehen.

Aber vermutlich erleuchtete Zauberer verwenden keine Muggel-Sommerzeit. Was dann? Die Zaubererschule von Hogwarts wird als irgendwo in Schottland präsentiert. Nehmen wir Edinburgh als typisch schottischen Ort, so stellen wir fest, dass Venus am 23. April um 1:25 Uhr „British Summer Time“ (der britische Name für Sommerzeit) untergeht. Auch ohne die Uhren eine Stunde vorzustellen, geht die Venus also noch weit nach Mitternacht aus Schottland unter. Aber vielleicht geben wir J. K. Rowling zu viel Nutzen… schließlich geschieht die Untergangseinstellung der Venus nur etwa einen Monat lang, alle 8 Jahre. Wann hat Harry Potter diese Beobachtung angeblich gemacht? Passt es? Laut Fan-Chronologien ist seine "Astronomy O.W.L." kam am Ende des Schuljahres im Frühjahr 1996. Das ist in der Tat ein Vielfaches von 8 Jahren vor 2020. Es scheint, dass JK Rowling doch etwas über Astronomie wusste… und jetzt wissen wir, dass das Zauberer-Schuljahr Ende April oder Anfang enden muss Kann!

Zuerst veröffentlicht im Dashing Diplodocus, dem Magazin der Freiwilligengilde des Houston Museum of Natural Science, und mit Genehmigung im HAS Guidestar nachgedruckt.


Venus ist 0,72 AE von der Sonne entfernt und Neptun ist 30,06 AE von der Sonne entfernt. Beide haben ähnliche Orbitalexzentrizitäten, 0,7 bzw. 1,0. Predict how long it will take Venus to make one revolution around the sun compared to Neptune. Also predict the orbital

venus and fumiko are coworkers at a rental store Venus earns 2.25 per hour than Fumiko together they earn 14.55 per hour how much money per hour does Venus earn

The mass of the Earth is close to 5.97x10^24 kg and the mass of Venus is close to 4.87x10^24 kg. What is the approximate combined mass of both planets A.1.08x10^25 B.2.91*10^49 C.1.08^10^48 D.1.08*10^25


Author information

Affiliations

Department of Earth, Planetary & Space Sciences, UCLA, Los Angeles, CA, USA

Department of Physics & Astronomy, UCLA, Los Angeles, CA, USA

Department of Astronomy, Cornell University, Ithaca, NY, USA

Jet Propulsion Laboratory, Pasadena, CA, USA

Jon D. Giorgini, Joseph S. Jao & Lawrence G. Snedeker

National Radio Astronomy Laboratory, Green Bank, WV, USA

Frank D. Ghigo & Amber Bonsall

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Contributions

J.-L.M. conducted the investigation and wrote the software and manuscript. D.B.C. contributed to the methodology. J.D.G., J.S.J., L.G.S., F.D.G. and A.B. contributed to data acquisition. All authors reviewed and edited the manuscript.

Corresponding author


Celestia Forums

How to calculate the orbit and rotation period.

Post #1 by Andirius » 30.06.2008, 09:37

Greetings Forum.
I just wanna to ask.
If we assume that a certain star has a mass of: M and there is a certain planet orbiting it at X A.U. or km, and has a mass of: m.
How can we calculate it's orbit period (the time the planet need to complete it's circling the parent star) .
and How can we calculate it's rotation period. and how to calculate the length of days of this planet, for i had read that rotation period is not same for length of day.

If you can please show me the formula needed to calculate the orbit and rotation period. and if you can please show me the link where i can leran more about this topic.

sorry for my bad english. for your all help i give my humble gratitude.

Re: How to calculate the orbit and rotation period.

Post #2 by selden » 30.06.2008, 11:22

Re: How to calculate the orbit and rotation period.

Post #3 by Andirius » 03.07.2008, 02:21

Re: How to calculate the orbit and rotation period.

Post #4 by Andirius » 03.07.2008, 02:26

Re: How to calculate the orbit and rotation period.

Post #5 by selden » 03.07.2008, 10:14

Unfortunately, to be able to calculate orbital parameters you have to understand algebra, and to calculate where planets are in their orbits, you have to understand calculus and, too often, the horror known as elliptical integrals.

You might take a look at the Web page http://www.lepp.cornell.edu/

Re: How to calculate the orbit and rotation period.

Post #6 by ajtribick » 03.07.2008, 11:00

There's no formula for rotation period, as this is set by the planet's formation and evolutionary history. (Tidal forces will eventually synchronise the rotation period so that rotation period = orbital period, but this is only usually relevant for very close-in planets on near-circular orbits)

Wo P is the period, r is the semimajor axis, M is the mass of the star and G ist die Gravitationskonstante.

Learn to use Google calculator, which has constants like the mass of the Sun (m_sun) and the gravitational constant (G) built-in, and will handle the units for you.

Re: How to calculate the orbit and rotation period.

Post #7 by bdm » 05.07.2008, 23:59

Length of solar day = Length of sidereal day * (1 + 1 / ((length of year/length of sidereal day) - 1))

NOTE: Make sure the time units are all the same

Re: How to calculate the orbit and rotation period.

Post #8 by ajtribick » 07.07.2008, 18:33

bdm wrote: Length of solar day = Length of sidereal day * (1 + 1 / ((length of year/length of sidereal day) - 1))

NOTE: Make sure the time units are all the same

That works if the planet is prograde.

If the rotation is retrograde the expression becomes

Length of solar day = Length of sidereal day * (1 - 1 / ((length of year/length of sidereal day) + 1))

Re: How to calculate the orbit and rotation period.

Post #9 by Andirius » 09.07.2008, 08:17

there some more question pop out in my tiny brain.
if we ignoring all the tidal forces is there a way to calculate the rotation period. or we just make up the number?
and why giant gas planet tend to rotate faster than rocky ones. is it connected to inertia.
and what make a planet rotate backward (retrograde). tidal forces or because a thick atmosphere like Venus.
and maybe someone will answer my question about atmosphere in another post.

I'm asking all this question to make a "realistic" or at least semi realistic solar system settings for my story. it's not as easy as i think before . need more study.
i hope that i don't make you guys irritated with all my question, I'm just confused because my lack of science.

Re: How to calculate the orbit and rotation period.

Hi i hope the folowing helps

OrbitalRadius (AU) CUBED = OrbitalPeriod (Earth Years) SQUARED / Mass (solar units)

you can re arrange this to calculate the other perameters

this is only true for orbits around Stellar mass objects, for planitary orbits you need to go the whole hog and work out everything

Re: How to calculate the orbit and rotation period.

Post #11 by selden » 09.07.2008, 10:29

there some more question pop out in my tiny brain.
if we ignoring all the tidal forces is there a way to calculate the rotation period. or we just make up the number?

and maybe someone will answer my question about atmosphere in another post.

I'm asking all this question to make a "realistic" or at least semi realistic solar system settings for my story. it's not as easy as i think before . need more study.
i hope that i don't make you guys irritated with all my question, I'm just confused because my lack of science.

Re: How to calculate the orbit and rotation period.

Post #12 by ajtribick » 09.07.2008, 13:05

Re: How to calculate the orbit and rotation period.

Post #13 by Andirius » 10.07.2008, 09:17

thanks to mr. selden and mr. ajtribick

well it seems that i really need to read more books. but in my country (Indonesia to more be more specific) there are not so much book about astrophysics, most of them is about "how to become rich fast" books and love novel so i had a shortage on physic books.
i really don't know how to find the material i searching and the search engine is not helping either. wikipedia although informative lack coherency (what do we expect from collective writings from multiple authors. ) and sometime confusing (lack of citation).
where can i find the relevant information i need. (don't bother wikibooks, i can't understand a single things, believe me i have tried and i totally lost finding the pages [most of them don't had link*red*]. )

thank you for your attention
best regards.

Re: How to calculate the orbit and rotation period.

Post #14 by Brendan » 15.07.2008, 15:12

Andirius wrote: thanks to mr. selden and mr. ajtribick

well it seems that i really need to read more books. but in my country (Indonesia to more be more specific) there are not so much book about astrophysics, most of them is about "how to become rich fast" books and love novel so i had a shortage on physic books.
i really don't know how to find the material i searching and the search engine is not helping either. wikipedia although informative lack coherency (what do we expect from collective writings from multiple authors. ) and sometime confusing (lack of citation).
where can i find the relevant information i need. (don't bother wikibooks, i can't understand a single things, believe me i have tried and i totally lost finding the pages [most of them don't had link*red*]. )

thank you for your attention
best regards.

Maybe you could look at libraries for physics books and look for books to buy online.

Re: How to calculate the orbit and rotation period.

Post #15 by JamesGarry » 25.11.2008, 11:41

Calculate the orbital period of a spacecraft around the moon
1. During an Apollo lunar landing mission, the command module continued to orbit the Moon at an altitude of 100km. How long did it take to go around the Moon once?

2. T= 2(pi)(r^3/2) / root (GM)
mass of moon = 7.35 X 10^22
radius of moon= 1.74 X 10^6

3. I think that is the correct equation, and I've tried plugging all the values in. I know that the radius will have the 100km (100,000m) added on to it. Recht?


Bundle: Elementary Algebra + Student Workbook (5th Edition) Edit edition

Astronomie The orbital period of a planet is the time that it takes the planet to travel around the Sun. You can find the orbital period P (in Earth years) using the formula , wo d is the average distance (in astronomical units, abbreviated AU) of the planet from the Sun.

(a) Simplify the formula.

(b) Saturn’s average distance from the Sun is about 9.54 AU. What is Saturn’s orbital period? Round your answer to one decimal place.

(c) Venus’s average distance from the Sun is about 0.72 AU. What is Venus’s orbital period? Round your answer to one decimal place.

Umlaufzeit of a planet is

Hier is the average distance of the planet from the sun

Daher


Inhalt

Copernicus devised a mathematical formula to calculate a planet's sidereal period from its synodic period.

E = the sidereal period of Earth (a sidereal year, not the same as a tropical year) P = the sidereal period of the other planet S = the synodic period of the other planet (as seen from Earth)

During the time S, the Earth moves over an angle of (360°/E)S (assuming a circular orbit) and the planet moves (360°/P)S.

Let us consider the case of an inferior planet, d.h. a planet that will complete one orbit more than Earth before the two return to the same position relative to the Sun.

For a superior planet one derives likewise:

Generally, knowing the sidereal period of the other planet and the Earth, P und E, the synodic period can easily be derived:

The above formulae are easily understood by considering the angular velocities of the Earth and the object: the object's apparent angular velocity is its true (sidereal) angular velocity minus the Earth's, and the synodic period is then simply a full circle divided by that apparent angular velocity.

Table of synodic periods in the Solar System, relative to Earth:

    Sid. P. (a)   Syn. P. (a)   Syn. P. (d)
Merkur       0.241   0.317   115.9
Venus       0.615   1.599   583.9
Erde       1     —     —
Mond       0.0748     0.0809   29.5306
Mars       1.881   2.135   780.0
4 Vesta       3.629   1.380   504.0
1 Ceres       4.600   1.278   466.7
10 Hygiea       5.557   1.219   445.4
Jupiter       11.87   1.092   398.9
Saturn       29.45   1.035   378.1
Uranus       84.07   1.012   369.7
Neptun       164.9   1.006   367.5
134340 Pluto       248.1   1.004   366.7
136199 Eris       557   1.002   365.9
90377 Sedna       12050   1.00001   365.1

In the case of a planet's moon, the synodic period usually means the Sun-synodic period. That is to say, the time it takes the moon to complete its illumination phases, competing the solar phases for an observer on the planet's surface —the Earth's motion does not determine this value for other planets, because an Earth observer is not orbited by the moons in question. For example, Deimos' synodic period is 1.2648 days, 0.18% longer than Deimos' sidereal period of 1.2624 d.


The 2012 Transit of Venus

In a matter of hours, lucky observers with clear skies will be able to watch Venus pass in front of the Sun. Transits of Venus are rare – this is the last one until 2117 – but that’s not the only reason you should find a way to watch it. This astronomical event is historically very significant. Since the 17th century astronomers have used Venus transits to better understand the Universe and our place within in, and the upcoming transit doesn’t break this centuries-old tradition.

The Transit of Venus

Before exploring the role of Venus transits in history, it’s worth taking a couple of steps back. It’s worth looking at the geometry of our Solar System to understand why this event is so rare.

Venus takes about 225 days to make one full orbit around the Sun while the Earth takes about 365 days. The two planets line up roughly once every year and a half Venus lies directly between the Earth and the Sun. But we don’t see a transit every time because Venus’ orbit is tilted by about three degrees compared to Earth’s. From our perspective, we see Venus passing near the Sun on these occasions but not crossing it. Transits occur when the Earth and Venus line up at the same inclination of their orbits. That’s when we see the planet as a small dot crossing the Sun, and it’s a much rarer occurrence. Venus transits come in pairs eight years apart, but pairs come less than once per century. The repeating pattern between transits is eight years, 105.5 years, eight years, and 120.5 years.

But astronomers didn’t always know the transit schedule. In fact, they didn’t know nearly as much about planetary orbits as we know now. Getting a sense of where astronomy was as a science before transits became a valuable tool for astronomers is also worthwhile before getting into the story of transits in history.

Where We Stood

Until 1543, we were the centre of the Universe. Aristotelean and Ptolemaic models of cosmos had the Moon, Mercury, Venus, the Sun, Mars, Jupiter, and Saturn orbiting around the Earth against the background of fixed stars. But astronomers observed odd behaviour like planets occasionally doubling back on their orbits that couldn’t be explained in this geocentric model. Polish astronomer Nicolaus Copernicus proposed an elegant, and controversial, solution. He decentered the Earth and posited that all planets, including the Earth, orbit the Sun. In this model, the odd planetary motions astronomers saw could be chalked up to their orbiting viewpoint. Copernicus published his model the year of his death, 1543, in his De revolutionibus orbium coelestium (On the Revolutions of the Celestial Spheres). Though he didn’t see it, he changed the cosmic world view to one with a heliocentric system.

German astronomer Johannes Kepler built on Copernicus’ heliocentric model. Copernicus had retained the ancient idea that planets orbit the sun in perfect circles, but again the observations were inconsistent with the model. Kepler found that the planets actually trace elliptical orbits around the Sun, a theory he proved by using his model to accurately predict the November 7, 1631 transit of Mercury. In 1627, he also predicted the 1631 transit of Venus.

The 1631 Venus transit wasn’t visible in Europe, and Kepler, who died in 1630, failed to this transit’s pair. He predicted a Venus transit in 1761 and a near transit in 1639. He was wrong, and English astronomer Jeremiah Horrocks found the error and used Kepler’s adjusted calculation to predict the 1639 event. At around quarter past three on the afternoon of December 4 that year, he became one of the first men in history to observe a Venus transit. He projected the sun onto a piece of paper through a telescope. His friend William Crabtree also watched the event. Horrocks used his observations to guess at Venus’ size and compared data with Crabtree to estimate the distance between the Earth and the Sun.

From the Earth to the Sun

The actual distance between the Earth and the Sun eluded astronomers in the 17th century. By the 1660s, the Copernican heliocentric model was widely accepted and the planets’ relative orbits were well known. The missing piece was a number. Everything was quantified by the valueless Astronomical Unit (AU) where 1 AU is the average distance from the Sun to the Earth. Venus was known to orbit on average 0.7 AU from the Sun, but that wasn’t the precise value astronomers wanted. If they could determine the value for 1 AU, they could figure out the size of every planet’s orbit and the picture of the solar system, at least as it was understood at the time, would be complete.

Edmund Halley of Halley’s Comet fame was the first astronomer to come up with a way of using the transit of Venus to find the value for 1 AU. If two astronomers observed the transit from two far apart locations on Earth, they could use the difference in transit time and their known distance from each other to calculate the distance between the Earth and Venus. Then, applying Kepler's third law about the shape of planetary orbits – the square of the orbital period of a planet is directly proportional to the cube of the semi-major axis of its orbit – they could determine the value of 1 AU.

French astronomer Joseph-Nicolas Delisle improved on Halley's method. He stipulated that if the two observers knew their exact positions on Earth, they would only need to record the moment when the edge of Venus lined up with the edge of the Sun. This would be enough to calculate the value of 1 AU.

Measuring the Solar System with Transits

Halley died in 1742, 19 years before he could try his method on the 1761 transit. But a host of astronomers took up the challenge in his stead. European expeditions set out to India, the East Indies, Siberia, Norway, Newfoundland, and Madagascar to get the best and most spaced out views of the event. From the whole worldwide network, more than 120 transit observations were recorded, but most were of poor quality stemming from optical problems and inexperienced observers. For the 1769 transit, more than 150 observations were recorded from Canada, Norway, California, Russia, and famously Tahiti as part of Captain James Cook’s first expedition. But the results were only marginally better.

The state of technology in the 17th century made it impossible to record the exact moments of the start and end of the transit because of the so-called black drop effect. As Venus crossing in front of the Sun, a haze obscured the planet making it impossible for astronomers to make clear observations. But even poor results are results. In 1771, French astronomer Jérôme Lalande combined the observations from the 1761 and 1769 transits and calculated that 1 AU was 95 million miles (153 kilometers) give or take a half million or so miles. It was a start, but it wasn’t the precise value astronomers had hoped for.

Over a century later, a new generation of astronomers sought to use the 1874 and 1882 pair of Venus transits to refine the value of 1 AU. This time around, reigning astronomical superpowers France and England weren’t the only nations mounting expeditions for the event. Austria, Belgium, Brazil, Denmark, Germany, Italy, Mexico, the Netherlands, Portugal, Russia, and the United States all joined in the international effort, though it was far from the organized enterprise we see in international cooperatives today.

A new technology was also on hand for this set of 19th century transits: photography. Most astronomers felt their photographic recording wasn’t good enough to provide accurate measurements. Only the American astronomers felt the 200 photographs they took during the 1874 transit were promising enough to try again in 1882.

The 1882 transit was visible in the United States, and the U.S. Naval Observatory produced nearly 1,400 photographs. Though a striking record, these and other images gathered from other sites around the world did little to perfect the standing value of 1 AU. American astronomer William Harkness studied the 1874 and 1882 photographs and came up with a value of 92,797,000 miles (149,342,295) give or take 59,700 miles for 1 AU. This was better, but it still wasn’t accurate enough. The black drop effect remained perfect Earth-based observations can never be free from the distorting effects of the atmosphere.

New Technologies, New Goals

Space age technology made short work of the quest to find the value of 1 AU. Radio telemetry from space probes and radar measurements have yielded the value of 92,955,807.273 miles (149,597,870.700 kilometres), give or take about 100 feet. But just because this one big question has been answered doesn’t mean the 2004 and 2012 transits have to break the tradition of astronomers using the event to further our understanding of the Universe around us. This generation just has a very different goal in mind. Instead of measuring our Solar System, this pair of transits is helping astronomers measure the atmospheres of exoplanets.

2004 was the first transit since quantitative astronomical spectroscopy was invented, and astronomers took the opportunity to make detailed spectroscopic measurements of Venus’ upper atmosphere. Spectroscopy, which came onto the astronomical scene in the first half of the 20th century, allows astronomers to determine the chemical composition of a planet’s atmosphere. As sunlight passed through Venus’ atmosphere, the gases absorbed light at certain known wavelengths. The light that reached Earth had an absorption spectrum that astronomers read to find exactly what makes up the planet’s atmosphere.

Learning more about Venus wasn’t the only reason to decipher its atmosphere in 2004. Taking spectroscopic measurements was a practice run for applying the same method to determining the atmospheric composition of exoplanets – planets that orbit stars other than the Sun. Astronomers are using this 2012 transit to test another method of studying exoplanets.

Hubble will use its advanced Camera for Surveys, Wide Field Camera 3, and Space Telescope Imaging Spectrograph to view the transit in a range of wavelengths and perform spectroscopic analysis. But because its cameras are too sensitive to point directly at the Sun, Hubble will measure the light passing through Venus’ atmosphere as it reflects off the Moon. If Hubble can get an accurate reading of Venus this way, it will be another tool in astronomers’ arsenal for determining the atmospheric composition of exoplanets. If there’s an Earth out there, this could be the way to find it.

Over the course of astronomy’s history, Venus transits have shaped and given size to our Solar System. Now, transits are helping us understand our place in the Universe relative not only to other planets and stars but to other possible worlds and life forms. As you watch a small dot cross in front of a circle later, try to keep in mind the significance of and rich history behind this seemingly tiny event.

The views expressed are those of the author(s) and are not necessarily those of Scientific American.

ABOUT THE AUTHOR(S)

Amy Shira Teitel is an historian of spaceflight, blogger, and freelance writer passionate about making space history accessible to everyone. She blogs at Vintage Space where she chronicles her love of space history and space exploration, and she's currently working on a book about NASA's pursuit of runway landings during the space race. In the mean time, her work appears on Discovery News, AmericaSpace and Motherboard.